Vyučovanie kombinatoriky a pravdepodobnosti na slovenských školách po poslednej školskej reforme

S nástupom reformy na Slovensku v školskom roku 2008/2009 nastali výrazné zmeny vo výchovno-vzdelávacom systéme. Čoraz častejšie sa stretávame s potrebou zavádzania digitálnych technológií (DT) do vyučovacieho procesu a na vzdelávanie sa pozeráme cez potrebu získania kľúčových kompetencií. Pri transformácií vytvorených požiadaviek do praxe učitelia „zápasia“ s chýbajúcimi učebnými a metodickými materiálmi či príručkami. Existujú síce moderné technologické pomôcky (interaktívne tabule, výučbové softvéry), absentujú avšak námety a možnosti ich využitia. Predmetom nášho výskumu bolo zistiť, ako prebieha „poreformné“ vyučovanie kombinatoriky a pravdepodobnosti na slovenských školách na základe názorov a postrehov učiteľov základných a stredných škôl.

Postavenie kombinatoriky a pravdepodobnosti v matematickej edukácii

V Štátnom vzdelávacom programe ISCED 2 [1] a ISCED 3A [2] je vzdelávací obsah predmetu matematika rozdelený do piatich tematických okruhov, kde jedným z nich je Kombinatorika, pravdepodobnosť, štatistika.

Na základných školách sa žiaci v rámci tohto tematického celku z kombinatoriky a pravdepodobnosti naučia systematicky vypisovať možnosti a zisťovať ich počet; čítať a tvoriť grafy, diagramy a tabuľky dát; rozumieť bežným pravdepodobnostným vyjadreniam. Kombinatorika sa vyučuje v 6. a 7. ročníku a pravdepodobnosť v 8. ročníku základných škôl. Veľkou nevýhodou práve tohto tematického celku je, že u väčšiny učiteľov je zaradzovaný do výučby až na konci školského roka, čo sa ale už často nestíha dôkladne prebrať z dôvodu posunu predchádzajúcich tematických celkov pre neočakávané udalosti a navyše, žiaci sú už často myšlienkami úplne inde.

Na stredných školách sa žiaci v kombinatorike naučia používať rôzne stratégie zisťovania počtu možností a riešiť úlohy z pravdepodobnosti na porovnávanie šancí, niektoré vlastnosti pravdepodobnosti a úlohy zo života (napr. genetika, dedičnosť). Kombinatorika sa preberá v 1. ročníku a pravdepodobnosť v 2. ročníku gymnázií. U stredných odborných škôl je to rôzne, záleží na strednej škole, do ktorého ročníka daný tematický celok zaradia a v akom rozsahu.

Aj keď je kombinatorika a pravdepodobnosť tematický celok, pri ktorom sa od žiakov nevyžadujú takmer žiadne predchádzajúce vedomosti z matematiky a často im stačia základy počítania a „zdravý sedliacky rozum“, podľa predchádzajúcich výskumov (napr. [3], [4]) nepatrí kombinatorika a pravdepodobnosť k obľúbeným témam a pre žiakov je to často veľmi ťažké učivo.

Problém nastáva pri riešení úloh, pretože tu neexistuje presný návod, ako ich vyriešiť. Niektorí, najmä slabší žiaci, takéto úlohy vítajú, pretože sa nemusia učiť postupy riešenia a vzorce. Avšak pre žiakov, ktorí sa matematiku pravidelne učia, vedia všetky postupy riešení a vzorce, je práve táto časť ťažká a často nepochopiteľná, pretože musia logickým uvažovaním dôjsť k výsledku riešenia a výsledok si ani nevedia overiť skúškou.

Práve preto je dôležité na hodinách začať úlohy výpisom všetkých možností a postupne zvyšovať obtiažnosť úloh, aby žiaci samostatne pri riešení odhalili pravidlo súčtu, súčinu a induktívny model a nevnucovať im vzorce na výpočet, pretože takto „nabiflené“ vzorce nebudú vedieť aplikovať pri riešení pre nich „nových“ úloh a nezapamätajú si ich. Pre niektorých žiakov je práve toto objavovanie výpisom všetkých možností vhodnou skúškou k vlastnému riešeniu ťažších úloh. Veľmi dôležité je aj nepoužívať len jednu metódu riešenia, ale na hodinách ukázať žiakom čo najviac spôsobov a výber vyhovujúceho ponechať na žiakovi. Neskôr, pri riešení úloh z pravdepodobnosti, kde sa najväčší dôraz kladie na zvládnutie úloh z kombinatorickej pravdepodobnosti [5], by žiaci nemali mať problém s určením pravdepodobnostného priestoru a s využitím kombinatorických pravidiel vypočítať zadanú pravdepodobnosť.

Opodstatnenosť venovať pozornosť kombinatorike a pravdepodobnosti v slovenskom prostredí zdôvodňujú výsledky našich žiakov v testovaní PISA1 2003 [6], kde hlavnou sledovanou oblasťou bola matematická gramotnosť. V tejto oblasti bola SR štatisticky významne pod priemerom testovaných krajín. Viac ako štvrtina našich žiakov v oblasti náhodnosť nedosiahla ani druhú úroveň náročnosti, ktorá podľa autorov štúdie PISA predstavuje minimum potrebné na orientáciu sa žiaka vo svete a ktorá umožňuje jeho celoživotné vzdelávanie. Pre získanie aktuálnejšieho pohľadu na efektívnosť využívania DT vo vyučovacom procese by bolo lepšie sledovať testovanie PISA 2012, s hlavnou sledovanou oblasťou matematická gramotnosť, avšak jej prvé výsledky budú zverejnené až v decembri 2013.

Metóda a organizácia prieskumu

Koncom novembra 2012 sme uskutočnili dotazníkový prieskum týkajúci sa názorov a postojov učiteľov k vyučovaniu kombinatoriky a pravdepodobnosti na školách. Pripravený dotazník obsahoval tri typy otázok (otázky s jednoduchým výberom odpovede, otázky s viacnásobným výberom odpovedí, otvorené otázky) a bol rozdelený na štyri časti.

1. Základné údaje o respondentoch obsahovala povinné položky: typ školy, na ktorej vyučujete; okres, v ktorom sa škola nachádza; počet rokov praxe a pohlavie. V ďalších častiach dotazníka sa už povinné položky nevyskytovali.
2. Postoj k vyučovaniu kombinatoriky a pravdepodobnosti obsahovala sedem otázok týkajúcich sa vzťahu k vyučovaniu kombinatoriky a pravdepodobnosti, či a ako je tento vzťah ovplyvnený predchádzajúcim štúdiom, ako aj vzťahu žiakov k týmto témam.
3. Metódy a prostriedky vo vyučovaní kombinatoriky bola prostredníctvom piatich otázok zameraná na používané metódy, učebnice a pedagogický materiál pre vyučovanie kombinatoriky.
4. Digitálne technológie (DT) vo vyučovaní pravdepodobnosti, kde sme sa prostredníctvom ôsmich otázok zamerali na využívanie DT vo vyučovaní pravdepodobnosti, ich vplyv na efektívnosť vyučovacieho procesu či žiacke hodnotenie zaujímavosti takto realizovanej výučby.

V závere každej časti bol priestor na vlastný názor či postrehy respondentov k danému obsahu.

Dotazník bol zadávaný v elektronickej forme prostredníctvom služby Google dokumenty a učiteľom po celom Slovensku bol distribuovaný e-mailom. Rozoslali sme 1450 emailov, z ktorých 720 bolo adresovaných priamo učiteľom a 730 vedeniu škôl s prosbou o rozdistribuovanie dotazníka učiteľom matematiky na danej škole. Vrátilo sa nám 330 vyplnených dotazníkov, kde 192 bolo zo základných škôl (ZŠ), 87 z gymnázií a 51 z oslovených stredných odborných škôl (SOŠ). Z respondentov, ktorí dotazník vyplnili, bolo 55 (17 %) mužov a 275 (83 %) žien.

Vyhodnotenie prieskumu

Analýzu vybraných otázok uvedieme vzhľadom na jednotlivé časti dotazníka. Kvôli prehľadnejšej analýze pri niektorých otázkach rozdelíme respondentov podľa typu školy, prípadne aj podľa počtu rokov praxe. V závislosti od hodnotených otázok využijeme grafické, popisné alebo percentuálne vyhodnotenie, prípadne aj závislosti medzi niektorými otázkami.

Postoj k vyučovaniu kombinatoriky a pravdepodobnosti

1. otázka:  Aký máte postoj k vyučovaniu kombinatoriky a pra